Основы моделирования производственных процессов

более распространенной, а также наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств систем (автоматических систем) и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Для большинства реальных элементов исходное уравнение, составленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным. Это обстоятельство сильно усложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся перейти от трудно разрешимого нелинейного уравнения к линейному дифференциальному уравнению, обычно записываемого в символической или операторной форме, вида

(a0pn + a1pn-1 +… + an) y(t) = (b0pm + b1pm-1 +… + bm) x(t),

где: x(t) и y(t) – соответственно входная и выходная величины элемента или системы;

ai, bi – коэффициенты уравнения;

p – оператор, сокращенное условное обозначение операции дифференцирования: d/dt = p.

Еще одним из распространенных методов описания и анализа автоматических систем является операционный. В основе метода лежит преобразование Лапласа

X(p) = L [x(t)] = x(t) e-ptdt,

которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной t и функциями комплексной переменной p.

Функциональные элементы, используемые в системах управления, могут иметь самое различное конструктивное исполнение и самые различные принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев. Каждому такому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным.

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев. Наиболее часто встречающиеся звенья: безынерционное (пропорциональное), инерционное первого порядка (апериодическое), инерционное второго порядка (апериодическое или колебательное), интегрирующее, дифференцирующее, изодромное (пропорционально-интегрирующее), форсирующее (пропорционально-дифференцирующее), интегро-дифференцирующее (с преобладанием интегрирующих либо дифференцирующих свойств), запаздывающее.

Приведем примеры реальных устройств, которые соответствуют определению типового динамического звена.

Типичный пример безынерционного звена, являющегося простейшим среди всех типовых звеньев, – редуктор. Его передаточные свойства описываются алгебраическим уравнением

или

,

где k = b/a – передаточный коэффициент редуктора, который зависит от соотношения диаметров или чисел зубьев ведомой и ведущей шестерен.

Реальными интегрирующими звеньями являются электрические исполнительные двигатели постоянного и переменного тока. Дифференциальное уравнение (в операторной форме) идеального интегрирующего звена выглядит следующим образом:

,

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от конструктивных параметров устройства.

Запаздывающее звено передает сигнал со входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной величины выходная величина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием). Способностью задерживать сигнал во времени, не изменяя его формы, обладают многие элементы промышленных автоматических систем. В первую очередь к таким элементам относятся транспортирующие устройства – конвейеры и трубопроводы.

Уравнение запаздывающего звена

,

где t – время запаздывания.

В операционной форме передаточная функция запаздывающего звена выглядит следующим образом:

Если запаздывающее звено входит в контур системы управления, то характеристическое уравнение системы будет уже не простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение и анализ трансцендентных уравнений связаны с большими трудностями. Поэтому часто в практических расчетах трансцендентную передаточную функцию (1.7) раскладывают в ряд Пада и, учитывая только первые два члена ряда, приближенно заменяют ее дробно-рациональной функцией:

Запаздывающие звенья в большинстве случаев ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми.

В заключение необходимо отметить, что методика анализа, основанная на расчленении системы на типовые звенья, широко вошла в практику инженерных расчетов, выполняемых в процессе конструирования, и в настоящее время является доминирующей.